LED模擬效率改善新方法：二維徑向簡化

        本文利用RSoft之FullWAVE與LEDs Utility仿真不同結(jié)構(gòu)的發(fā)光二極管(Light EmittingDiodes, LEDs)之發(fā)光效率，并比較二維模擬與三維模擬的差異性與優(yōu)缺點(diǎn)。

        介紹

         發(fā)光二極管LED于50年前被發(fā)明時(shí)，并沒有廣泛應(yīng)用于日常生活中。如今，藉由不斷地改良與推陳出新，LED已被推廣至許多常見應(yīng)用上，其中更以固態(tài)照明和顯示器市場最為重要。然而，即使LED在日常生活中有著無遠(yuǎn)弗屆的影響力，它還是存在著一些限制與缺點(diǎn)。其中最值得注意的就是LED在二極管基板發(fā)出的光源很不容易被萃取至外界，也就是LED有著不高的光萃取率(Light Extraction Efficiency)。為克服這缺點(diǎn)，學(xué)界與業(yè)界正嘗試著模擬并制作不同的表面結(jié)構(gòu)來增進(jìn)其光萃取率。然而，因三維結(jié)構(gòu)(3D)在計(jì)算上是繁復(fù)且耗時(shí)的模擬過程，因此，新一代的二維模擬(2D)方法被用來測試立體結(jié)構(gòu)的初步結(jié)果，以節(jié)省計(jì)算器資源并加速研發(fā)測試過程。

         造成LED低萃取率的主要原因?yàn)椋簭亩O管基板產(chǎn)生的光在穿透外層接口時(shí)，因全反射的發(fā)生而無法全數(shù)通過該接口，造成低穿透的現(xiàn)象。全反射發(fā)生的原因?yàn)榛逯凵渎?n)與外界折射率差異甚大，造成光接觸接口時(shí)，臨界角內(nèi)之光源被反射回基板，剩下少部分的光才得以穿透至外界。以理論值計(jì)算時(shí)，LED光萃取率限制最高為n2/4。以砷化鎵LED為例，其萃取率被限制低于2%；以氮化鎵LED為例，其萃取率被限制低于4%。

         為了突破這限制，不同的表面結(jié)構(gòu)被研究于改善LED的光萃取率。舉例來說，來自LG Innotek的S. David Roh在2012年的ACP研討會上發(fā)表數(shù)百種表面結(jié)構(gòu)對萃取率之影響的研究結(jié)果。即使大部分的研究者為了減少實(shí)際制程的花費(fèi)，使用仿真軟件測試LED的表面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，但并非全部的研究者皆使用仿真軟件來進(jìn)行設(shè)計(jì)。原因也許是因?yàn)?A href="http://getprofitprime.com/site/CN/Search.aspx?page=1&keywords=LED&column_id=ALL&station=%E5%85%A8%E9%83%A8" target="_blank">LED在模擬部分是屬于非常復(fù)雜的計(jì)算，而使用者還沒有找到適合且方便的軟件來輔助其計(jì)算。

        其復(fù)雜的原因在于LED光源是一個(gè)在時(shí)間與空間上非同調(diào)性的光源，且沒有特定偏振方向。為處理這種非同調(diào)性與非特定偏振的光源問題，時(shí)域有限差分法(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)被用來計(jì)算每個(gè)點(diǎn)、每個(gè)波長與每個(gè)偏振的電磁場，并將其迭合處理成與實(shí)際光源相似之電磁場。為了處理這種復(fù)雜的光源計(jì)算，RSoft在其模擬套件FullWAVE上開發(fā)了一套LED Utility，提供使用者一個(gè)方便、快速且準(zhǔn)確的模擬環(huán)境來進(jìn)行LED的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

        然而，完整的三維模擬在計(jì)算上需耗費(fèi)許多時(shí)間與內(nèi)存。舉例來說，利用多核心計(jì)算器來模擬一個(gè)典型的LED結(jié)構(gòu)，估計(jì)需耗費(fèi)數(shù)千兆位的內(nèi)存與數(shù)小時(shí)的時(shí)間。除此之外，若研究者須針對不同波長、偏振與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化處理，則至少需要花費(fèi)數(shù)天的時(shí)間來模擬。

        為了提高模擬效率和減少模擬成本，本篇文章介紹一個(gè)在2012年ACP會議上發(fā)表的簡單作法：相較于傳統(tǒng)的三維模擬，我們假設(shè)多數(shù)LED有圓對稱性(circularly symmetry)，因此可以利用二維模擬來進(jìn)行不同設(shè)計(jì)的成果檢測，估計(jì)可以減少數(shù)千至數(shù)百倍的模擬時(shí)間。

        模擬步驟簡介

        在此介紹中，我們先介紹典型的三維模擬步驟，再進(jìn)而介紹簡化版的二維模擬方法。在LED的激發(fā)過程中，光子因每個(gè)不同的電子電洞對的結(jié)合而產(chǎn)生，在相位、同調(diào)性與偏振上皆沒有一定的規(guī)則。因此，LED產(chǎn)生的光源是空間時(shí)間非同調(diào)且非特定方向偏振的光源。在FDTD模擬中，利用Monte Carlo方法來設(shè)計(jì)非同調(diào)性的電磁場是普遍的作法，但卻所費(fèi)不貲。原因是在偶極矩上的相位變化速度遠(yuǎn)慢于電磁場之周期，因此需要長時(shí)間的模擬才能達(dá)成。另一個(gè)更好的方法則是結(jié)合許多不同的偶極矩來創(chuàng)造一個(gè)非特定偏振且非同調(diào)性的電磁場。

        所謂的「非特定方向偏振」電磁場指的是電磁場「均勻地」向四面八方偏振。為了創(chuàng)造出這樣的電磁場光源，必須將三個(gè)互相垂直的偏振方向迭加在同一個(gè)空間，如圖1。
 

         從圖1上可以清楚看出在模擬每個(gè)點(diǎn)光源時(shí)，三種不同偏振方向的偶極矩都需要加入運(yùn)算，以達(dá)到其非特定偏振的光源特性。然而，對某些LED來說，光子并不會往每個(gè)方向上輻射。以氮化鎵LED為例，在晶軸方向上就不會有光子輻射出去，因此在模擬上只需要兩種偏振方向的偶極矩即足夠。

          在另外一方面，每個(gè)LED所產(chǎn)生的光子在相位上都各自獨(dú)立，因此若要各別模擬的話則需要大量時(shí)間。但若是在每個(gè)偶極矩上以固定的相位差去做模擬，則無法造成在空間上非同調(diào)性的電磁光源。因此，在模擬多偶極矩的過程中，每個(gè)偶極矩皆需各別模擬，以達(dá)到非同調(diào)性的特性。

         在時(shí)間同調(diào)性方面，通常會使用同調(diào)長度(coherent length)來決定其同調(diào)性。LED光源在頻譜上有著比雷射還要廣的帶寬，而在萃取率與輻射圖案上，如圖2所示，更有著頻率的相關(guān)性。圖2仿真著不同頻率的LED光源之輸出光場的不同。
 

        萃取率R跟遠(yuǎn)場的輻射函數(shù)ψ(θ,φ)可以藉由取得每個(gè)波長相關(guān)的萃取率與輻射函數(shù)后，將LED頻譜加權(quán)平均而得之，如方程式(一)所示：

        其中的N代表取點(diǎn)總數(shù)，而平均結(jié)果如圖3所示。

         如前述所提，對LED進(jìn)行完整的FDTD模擬需要耗費(fèi)許多計(jì)算資源，特別是在為了提升光萃取率，而針對不同的表面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)所做的仿真。圖4即是平面(Flat)與結(jié)構(gòu)(patterned)的LED針對光萃取率的比較曲線。在結(jié)構(gòu)LED上，常利用光柵式結(jié)構(gòu)將光導(dǎo)出二極管基板，提高光萃取率。從圖中可看出，平面結(jié)構(gòu)LED只需比較少的計(jì)算空間(domain)即可算出萃取率，而結(jié)構(gòu)式LED則需較大的計(jì)算空間，意即需要更多的計(jì)算資源才能算出正確的光萃取率。

         因此，為節(jié)省模擬時(shí)間與提高效率，一個(gè)可以簡化模擬過程的近似被開發(fā)出來。這個(gè)簡化的近似就是二維(2D)模擬。這種將三維模擬簡化至二維的近似適用于許多光學(xué)模型，而其中以LED這種具有圓對稱性的模型更為適合。

         然而，如圖5所示，一般的二維簡化完全地改變了整個(gè)模型。該模擬中將一個(gè)常用于改進(jìn)光萃取率的光子晶體結(jié)構(gòu)，簡化成一維的光柵結(jié)構(gòu)。更重要的是，它將點(diǎn)光源轉(zhuǎn)換成線光源。最后，該簡化造成二維模擬與三維模擬有很不一樣的結(jié)果。
 

         有鑒于此，二維模擬的簡化需要建筑在「徑向簡化」上。常被使用的光子晶體表面結(jié)構(gòu)，不論是六角柱或是晶格排列，都可視為圓狀的布拉格光柵。布拉格光柵會在平面方向上產(chǎn)生一個(gè)能隙，迫使電磁場往外傳遞，提高光萃取率。因此，二維的徑向簡化模擬與實(shí)際問題較為符合，如圖6所示。

         為了確認(rèn)該簡化假設(shè)是否能成立，三種不同的模擬方法被測試于平面結(jié)構(gòu)LED之萃取率曲線。分別為：二維線坐標(biāo)簡化、二維徑向簡化與三維模擬。如圖7所示，二維徑向(2D Radial)的結(jié)果與三維(3D)模擬結(jié)果吻合，而二維線坐標(biāo)(2D)則如前述，與實(shí)際三維結(jié)果相差甚大。

        同樣的測試也用在具有表面結(jié)構(gòu)的LED模型上，結(jié)果如圖8所示。二維徑向假設(shè)與實(shí)際的三維模擬結(jié)果相去不遠(yuǎn)，而二維線坐標(biāo)假設(shè)則與另外兩種差異不小，再次證明二維徑向簡化之可行性。

        LED光萃取率的模擬在經(jīng)過二維徑向簡化后，其所需之計(jì)算資源大幅度減少。通常三維模擬需要幾天的時(shí)間，在簡化后只需要幾分鐘的模擬時(shí)間，并且占據(jù)更少的內(nèi)存。

          本文介紹一種模擬LED非同調(diào)性與非特定偏振光源的常用偶極矩設(shè)計(jì)。另外，為了增加模擬的效率與節(jié)省模擬資源，經(jīng)過二維徑向簡化后的模擬可以得到與三維模擬接近的結(jié)果，但卻可以節(jié)省數(shù)百倍的運(yùn)算時(shí)間。利用RSoft FullWAVE和LED Utility，LED工程師可快速的將新的表面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)利用平面仿真方法測試其光萃取率之提升。但即使二維徑向簡化是一個(gè)很有效率的簡化，還是無法完全取代三維模擬。因此，LED工程師在使用二維徑向簡化模擬后，可使用RSoft LED Utility來進(jìn)行最后三維結(jié)構(gòu)仿真的測試，以確保其正確性。